Monet opiskelijat, jotka opiskelevat syventävää matematiikkaa syventävillä kursseilla, ovat todennäköisesti miettineet: missä käytetään differentiaaliyhtälöitä (DE) käytännössä? Tätä asiaa ei yleensä käsitellä luennoissa, ja opettajat siirtyvät heti ohjausteorian ratkaisuun selittämättä opiskelijoille differentiaaliyhtälöiden käyttöä tosielämässä. Yritämme täyttää tämän aukon.
Aloitamme määrittelemällä differentiaaliyhtälö. Joten differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka yhdistää johdannaisen funktion arvon itse toimintoon, itsenäisen muuttujan arvoihin ja joihinkin lukuihin (parametreihin).
Yleisin alue, jolla differentiaaliyhtälöitä sovelletaan, on luonnonilmiöiden matemaattinen kuvaus. Niitä käytetään myös ratkaista ongelmia, joissa on mahdotonta luoda suoraa suhdetta prosessia kuvaavien arvojen välille. Tällaisia tehtäviä syntyy biologiassa, fysiikassa ja taloustieteessä.
Biologiassa:
Ensimmäinen biologisia yhteisöjä kuvaava matemaattinen malli oli Lotka-Volterra-malli. Se kuvaa kahden vuorovaikutuksessa olevan lajin populaatiota. Ensimmäinen heistä, kutsutaan petoeläimiksi, kuolee lain mukaan x '= –ax (a> 0) toisen puuttuessa, ja toinen uhri, saalistajien puuttuessa, lisääntyy rajoittamattomasti Malthuksen lain mukaisesti. Näiden kahden lajin vuorovaikutus on mallinnettu seuraavasti. Uhrit kuolevat nopeudella, joka on yhtä suuri kuin saalistajien ja uhrien kohtaamisten lukumäärä, jonka tässä mallissa oletetaan olevan verrannollinen molempien populaatioiden lukumäärään, ts. Yhtä suuri kuin dxy (d> 0). Siksi y '= by-dxy. Petoeläimet lisääntyvät nopeudella, joka on verrannollinen syödyn saaliin määrään: x '= –ax + cxy (c> 0). Yhtälöjärjestelmä
x '= –ax + cxy, (1)
y '= dxy, (2)
sellaisen populaation kuvaamiseksi saalistaja on saalista, ja sitä kutsutaan Trays - Volterra -järjestelmäksi (tai malli).
Fysiikassa:
Newtonin toinen laki voidaan kirjoittaa differentiaaliyhtälön muodossa
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), missä m on ruumiin massa, x on sen koordinaatti, F (x, t) on kehoon kohdistuva voima koordinaatin x kanssa hetkellä t. Hänen ratkaisunsa on kehon suuntaus osoitetun voiman vaikutuksesta.
